Lineas en la cuadrícula
Considera lineas que emanan de un punto y lo unen a distintos otros vértices de una cuadrícula. Aquí están varios ejemplos:
Consideraremos lineas cuyo punto final tiene por coordenadas un par de enteros positivos. Algunos de los puntos finales de las lineas tienen una coordenada que es un múltiplo de la otra. En otros casos las coordenadas tienen un factor común, y en los otros casos las coordenadas son coprimas (no tienen factor común salvo 1).
Las lineas cruzan la cuadrícula en distintas formas:
- unas hacen diagonales de cuadrados de la retícula y solo cruzan la cuadricula en vértices (como la linea que va del origen al (5, 5);
- otras lineas son diagonales de rectángulos (por ejemplo la linea del origen al (2,6) contiene a las diagonales de dos rectángulos idénticos;
- otras, como la línea del origen al (11, 1), forman la diagonal de solo un rectángulo.
1) ¿Puedes encontrar alguna relación entre el número de cuadrados que cruza una línea y las coordenadas de su punto final? Explica porqué vale esa relación.
2) ¿Puedes encontrar alguna relación entre el número de líneas de la cuadrícula que cruza una línea y las coordenadas de su punto final? Explica porqué vale esa relación.
3) ¿Puedes describir alguna relación entre las coordenadas del punto final de una recta y la longitud de la recta?
Este acertijo y su material de apoyo son una traducción; el original en inglés aparece en http://nrich.maths.org/737
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- ¿Qué pasa si una de las coordenadas es el doble de la otra, o el triple, o ...?
- ¿Qué pasa si las coordenadas tienen a 2, o a 3 como factor común?
- ¿Qué pasa si las coordenadas son coprimas (por ejemplo (9, 8))?
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