Club de Mate

El truco del mago Cristian - Solución

Después de hacer los cálculos numéricos que pide el acertijo uno encuentra el número 4, y consecuentemente la letra D.

Existen tres países cuyo nombre castellano comienza con D; los países son Dinamarca en Europa, Djibouti en África y Dominica en El Caribe, pero Dinamarca es el que más gente conoce. Tampoco hay un único animal cuyo nombre comience con I, y el color verde no es el único que puede relacionarse con las iguanas.

Regresando a las matemáticas, el asunto por estudiar es poqué el resultado de los cálculos es siempre 4. Llamemos N al número que pensamos originalmente entre el 1 y el 9. Una pregunta más directa es: porqué obtenemos 9 al sumar los dígitos de N x 9. Abajo explicamos esto.

El número N x 9 está entre 9 y 81. Recordando que 9 puede escribirse como 09, llamemos D al número de decenas en N x 9, y U al número de unidades en N x 9. Así, lo que nos piden calcular "SUMA SUS DOS DÍGITOS" es D + U.

Sabemos que en el caso más simple, cuando el número que pensamos es N = 1, tenemos D = 0 y U = 9. En este caso es trivial verificar que D + U = 9. Ahora preguntémonos que pasa si en vez de escoger el número N, hubiera pensado el siguiente, N' = N+1. En este caso queremos calcular la suma de los dígitos de

N' x 9 = (N x 9) + 9

Los dígitos de este número son D' decenas y U' unidades. ¿Cómo calculamos D' y U' comenzando con D y U?

Si U = 0 entonces U' = 9 y D' = D, y por consiguiente D' + U' = (D + U) + 9.

Si U es distinto de 0, U' = U - 1 y D' = D + 1 (¿ya te convenciste de que esto es cierto?), de manera que D' + U' = D + U.

El segundo caso que describimos dice que la suma de los dígitos no cambia, así que si en el caso N = 1 la suma de los dígitos fue 9 (recordando que en este caso U es distinto de cero), esto será también cierto para N' = N + 1. Solo debemos de cuidar que el dígito de las unidades, U' = U - 1 no sea 0. Como este dígito va decreciendo de 1 en 1 mientras aumentamos el número inicial N en 1, tenemos que para N entre 1 y 9 siempre tendremos D + U = 9.

Observen que para N = 10 todavía tenemos tenemos D + U = 9 + 0 = 9, pero para N' = 10 + 1, tendríamos D' + U' = 18. Lo que sí sigue siendo cierto en este caso es que D' + U' es divisible entre 9. Este hecho es útil como criterio para saber si un número es divisible por el número 9.