Cuadrados y más cuadrados
Este diagrama muestra un cuadrado dividido en en siete cuadrados más pequeños.
¿Puede dividirse un cuadrado en cualquier número de cuadrados menores?
¿Puedes cortar un cuadrado haciendo: dos, tres, cuatro, cinco, ..., n cuadrados más pequeños?
¿Puedes justificar tus respuestas?
Este acertijo y su material de apoyo son una traducción; el original en inglés aparece en http://nrich.maths.org/2104
¿Puedes dividir un cuadrado en:
4, 7, 10, o 13 cuadrados más pequeños?
6, 9, 12, o 15 cuadrados más pequeños?
8, 11, o 14 cuadrados más pequeños?
El intento de dividir en 2 cuadrados falla. Una forma de entenderlo es que dos esquinas tendrían que pertenecer al mismo cuadrado; esto implicaría que el lado de uno de los cuadrados es igual al lado del cuadrado original, lo que es imposible. De la misma forma vemos que no se puede dividir un cuadrado en 3 cuadrados. Sí se puede dividir en 4. Dividirlo en 5 partes también es imposible: sabemos que las cuarto esquinas del cuadrado original pertenecen a distintos nuevos cuadrados. Si fuera posible debería de haber un solo cuadrado nuevo que no tocara una esquina del original; hay dos posibilidades, (1) que sí toque uno de los lados, (2) que esté localizado en el interior del cuadrado original. Es fácil descartar cada una de estas posibilidades.
Notamos que si podemos dividir al cuadrado en n partes, también podemos dividirlo en n+3 partes, pues uno de los cuadrados de la división original lo podemos partir en 4.
Abajo se muestra cómo dividir al cuadrado en 4, 6 y 8 nuevos cuadrados. Como explicamos antes, esto implica que se puede dividir un cuadrado en 4+3=7. Es decir, se pueden dividir en n = 6, 7 y 8 cuadrados y en n+3 para cada una de esos valores de n. Por eso se puede dividir un cuadrado en cualquier número de cuadrados excepto en 2, 3 y 5.
