Sucesiones de Farey
Si te dan una lista de números escritos como decimales, seguro te será fácil ordenarlos de acuerdo a su tamaño. Pero ¿cómo ordenas fracciones?
Un hombre llamado John Farey estudió sucesiones de fracciones con respecto a su tamaño; se llaman sucesiones de Farey.
La tercera sucesión de Farey, F3, se ve así:
Esa sucesión en lista fracciones entre 0 y 1 con denominadores que llegan hasta 3,
incluyéndolo, escritas en su forma más simple.
Te presentamos F4:
Escribe tú F5.
¿Cuáles fracciones extras aparecen en F5 que no estaban en F4?
Usa F5 para ayudarte a completar F6 y F7.
Aquí hay algunas consideraciones.
Hay muchas fracciones extras en F11que no aparecían en F10.
Hay pocas fracciones extras en F12 que no aparecían en F11.
¿Puedes explicar por qué ocurre eso?
¿En qué casos necesitarás muchas fracciones extras para obtener la siguiente sucesión de Farey?
¿Será siempre una sucesión de Farey más larga que la anterior? ¿Cómo lo sabes?
Hasta ahora, todas las sucesiones de Farey han contenido un número impar de fracciones. ¿Puedes encontrar una sucesión de Farey con un número par de fracciones?
En F4, 3/4 aparece entre 2/3 y 1/1. ¿Qué notas en las fracciones de ambos lados cuando colocas una nueva fracción?
Escoge cualesquiera tres fracciones consecutivas en una sucesión de Farey. ¿Puedes encontrar una forma de combinar las fracciones de los extremos para obtener la de en medio?
Para ver cómo se relacionan estas sucesiones con algunos patrones hermosos patrones matemáticos, vea los diagramas en el problema Círculos de Ford (en inglés). No es necesario intentar este último problema en este nivel, está dirigido a estudiantes de niveles más altos.
Este acertijo y su material de apoyo son una traducción; el original en inglés aparece en http://nrich.maths.org/2086
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Una forma de comparar fracciones es usar un enladrillado de fracciones.
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